गणित के महत्वपूर्ण सूत्र

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क्षेत्रमिति फार्मूला


द्विविमीय आकृतियाँ (Two Dimensional Figures)



आयत (Rectangle)


क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

परिमिति = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)

विकर्ण = √{(लम्बाई)2 + (चौड़ाई)2}



वर्ग (Square)

क्षेत्रफल = (भुजा) ²

परिमिति = 4 × भुजा

विकर्ण = √2 × भुजा



त्रिभुज (Triangle)

विषमबाहु त्रिभुजः यदि a, b तथा c क्रमशः पहली, दूसरी और तीसरी भुजा की लम्बाईयाँ हो तब



(s = अर्ध-परिमिति) = (a+b+c)/2

और, क्षेत्रफल = √s(s-a)(s-b)(s-c)



समकोण त्रिभुज

यदि त्रिभुज समकोण हो, तब

क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई


समबाहु त्रिभुज

यदि त्रिभुज समबाहु हो, तब

क्षेत्रफल = {√3/4}*(भुजा)²

a भुजा वाली समबाहु त्रिभुज के अन्तः वृत्त की त्रिज्या = a/(2√3)

a भुजा वाली समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या = a/√3



वृत्त (Circle)

क्षेत्रफल = π × (त्रिज्या)²

परिधि = 2π × त्रिज्या

त्रिज्या = व्यास/2



अर्द्ध-वृत्त (Semicircle)

अर्द्ध-वृत्त का क्षेत्रफल = 1/2 × π R²

अर्द्ध-वृत्त की परिमिति = (π R + 2R)



चाप की लम्बाई = 2πRθ/360

वृत्तखण्ड AOB का क्षेत्रफल

= 1/2 × (चाप AB) × R = 2πR2θ/360



कमरे की चार दीवारों का:

क्षेत्रफल = 2 × ऊंचाई (लम्बाई + चौड़ाई)

ऊंचाई = क्षेत्रफल /{2(लम्बाई + चौड़ाई)}



चतुर्भुज (Quadrilateral)


समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)

क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई



समचतुर्भुज (Rhombus)


क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्णों का गुणनफल


समलम्ब चतुर्भुज (Trapezium)


क्षेत्रफल = 1/2 × (समान्तर भुजाओं का योग) × उनके बीच की दूरी


विषमबाहु चतुर्भुज (Trapezoid)

क्षेत्रफल = ½ (DP + BQ) × AC




त्रिविमीय आकृतियाँ (Three dimensional Figures)

घनाभ (Cuboid)

यदि घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः L, B और H हो तब

आयतन = L × B × H

सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 (L × B + B × H + H + L)

विकर्ण =  √(L2 + B2 + H2)



घन (Cube)

यदि घन की प्रत्येक भुजा a हो, तब

आयतन = a × a × a = a³

सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2(a × a + a × a + a × a) = 6a²

घन का विकर्ण = √(a2 + a2 + a2) = √3 a




बेलन (Cylinder)

यदि बेलन की त्रिज्या r तथा ऊँचाई या लम्बाई h हो, तब

आयतन = πr²h

क्षेत्रफल = 2πrh

सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = (2πrh + 2πr²)



शंकु (Cone)

यदि शंकु के आधार की त्रिज्या, ऊँचाई तथा इसकी तिर्यक-ऊँचाई क्रमशः r, h तथा ℓ हो, तब:

आयतन = (1/3)πr2h

वक्र-पृष्ठ का क्षेत्रफल = πrℓ

सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = πrℓ + πr²

तिर्यक ऊँचाई = ℓ = = √(r2 + h2 )



गोला (Sphere)

यदि गोले की त्रिज्या r हो, तब

आयतन = (4/3)πr3

वक्र-पृष्ठ क्षेत्रफल = 4πr²



अर्द्ध-गोला (Semisphere)

आयतन = (2/3)πr3

वक्र-पृष्ठ क्षेत्रफल = 2πr²

सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल = 2πr² + πr² = 3πr²